三角函数的基本公式

由于大部分情况下弧度制单位rad不写，且弧度角度都由α表示，所以本文中将弧度角度混淆的地方加了单位，以表清楚明了

三角函数的铺垫~
任意角的度数

{α∣α+k×365°,k∈Z}\alpha\lvert\alpha+k\times365°,k\in Z\brace

弧度制与角度制

2π=360°2\pi=360°
π=180°\pi=180°
π180=1°\frac{\pi}{180}=1°

弧度制公式

α(rad)=lr\alpha(rad)=\frac{l}{r}

常用角度数

30°=π645°=π460°=π330°=\frac{\pi}{6}\qquad45°=\frac{\pi}{4}\qquad60°=\frac{\pi}{3}\qquad \\

120°=32π150°=56π180°=π120°=\frac{3}{2}\pi\qquad150°=\frac{5}{6}\pi\qquad 180°=\pi

弧度与角的转换

α(rad)=α°×π180\alpha (rad)=\alpha°\times\frac{\pi}{180}
α°=α(rad)×180°\alpha°=\alpha(rad)\times180°

例:

67°35′=67.5°67°35'=67.5°
α（rad）=67.5°×π180=38π\alpha（rad）=67.5°\times\frac{\pi}{180}=\frac{3}{8}\pi

三角函数的开始~
任意角的三角函数

tan⁡α=yx\tan \alpha=\frac{y}{x}
$\sin \alpha=\frac{y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} \cos \alpha=\frac{x}{\sqrt{x{2}+y{2}}} \tan\alpha=\tan(\alpha+2k\pi) \sin \alpha=\sin (\alpha+2k\pi)\qquad k\in Z \cos \alpha=\cos (\alpha+2k\pi)$

角度 0° 30° 45° 60° 90°
弧度 0 π6\frac{\pi}{6} π4\frac{\pi}{4} π3\frac{\pi}{3} π2\frac{\pi}{2}
sinα 0 12\frac{1}{2} 22\frac{\sqrt2}{2} 32\frac{\sqrt3}{2} 1
cosα 1 32\frac{\sqrt3}{2} 22\frac{\sqrt2}{2} 12\frac{1}{2} 0
tanα 0 33\frac{\sqrt3}{3} 1 3\sqrt3 不存在

同角三角函数基本关系

cos2α+sin2α=1tanα=sinαcosα (cosα≠0)cos^2\alpha+sin^2\alpha=1\qquad tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\space (cos\alpha\not=0)

万能公式

sin⁡2α=2tan⁡α1+tan⁡2αcos⁡2α=1−tan⁡2α1+tan⁡2αtan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\sin 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha} \qquad \cos 2 \alpha=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha} \qquad \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}

诱导公式

±a\pm a ±sin⁡α\pm\sin\alpha cos⁡α\cos\alpha ±tan⁡α\pm\tan\alpha
π2±α\frac\pi2\pm\alpha cos⁡α\cos\alpha ∓sin⁡α\mp\sin\alpha ∓cot⁡a\mp\cot a
π±α\pi\pm\alpha ∓sin⁡α\mp\sin\alpha −cos⁡α-\cos\alpha ±tan⁡α\pm\tan\alpha
3π3\pi ±α\pm\alpha 2 −cosa-cosa ±sin⁡α\pm\sin\alpha ∓cot⁡a\mp\cot a

奇变偶不变，符号看象限!!!

三角函数倍数关系

sin⁡(α±β)=sin⁡α⋅cos⁡β±cos⁡α⋅sin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta
cos⁡(α±β)=cos⁡α⋅cos⁡β∓sin⁡α⋅sin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta
tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡α⋅tan⁡β\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}

sin⁡2αsin⁡2α=2sin⁡α⋅cos⁡α\sin^{2}\alpha\sin2\alpha=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos2\alpha = \cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha-1 = 1-2 \sin^{2}\alpha

sin⁡α2=±1−cos⁡α2\sin\frac\alpha2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2}

cos⁡α2=±1+cos⁡α2\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}

tan⁡α2=1−cos⁡αsin⁡α=sin⁡α1+cos⁡α\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

降幂公式

sin⁡2α=1−cos⁡2α2cos2α=1+cos⁡2α2\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\qquad cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}

辅助角公式

​ asin⁡θ±bcos⁡θ=a2+b2sin⁡(θ±φ)a\sin\theta\pm b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta\pm\varphi)

​ 其中，tan⁡φ=ba\tan\varphi=\frac{b}{a}

​ 通常：aa, b∈R+b\in R^+, φ∈(0,π2)\varphi \in ( 0, \frac \pi 2)

拆分角公式

sin2α−sin⁡2β=sin⁡(α+β)⋅sin⁡(α−β)sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta=\sin(\alpha+\beta)\cdot\sin(\alpha-\beta)

cos⁡2α−sin⁡2β=cos⁡(α+β)⋅cos⁡(α−β){\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\beta=\cos(\alpha+\beta)\cdot\cos(\alpha-\beta)}

积化和差和差化和积

sin⁡α⋅cos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin\alpha\cdot\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]

cos⁡α⋅sin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\cos\alpha\cdot\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]

cos⁡α⋅cos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos\alpha\cdot\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]

sin⁡α⋅sin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\sin\alpha\cdot\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]

sin⁡α±sin⁡β=2sin⁡α±β2⋅cos⁡α∓β2\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}2\cdot\cos\frac{\alpha\mp\beta}2

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2⋅cos⁡α−β2\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}2\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}2

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2⋅sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}2\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}2

解三角形

三角形面积公式

SΔABC=12ab⋅sin⁡C=12ac⋅sin⁡B=12bc⋅sin⁡A{S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}ab\cdot\sin C=\frac{1}{2}ac\cdot\sin B=\frac{1}{2}bc\cdot\sin A}\\

​ 其中,r为ΔABC外接圆半径其中,r为\Delta ABC外接圆半径

正弦定理

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2r\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2r\\

余弦定理

a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Ab2=a2+c2−2ac⋅cos⁡Bc2=a2+b2−2ab⋅cos⁡Ca^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos A\quad b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos B\quad c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos C

常用公式

sin⁡A=sin⁡(B+C)cos⁡A=−cos⁡(B+C)tan⁡A=−tan⁡(B+C)\begin{array}{cc}{\sin A=\sin(B+C)}\qquad{\cos A=-\cos(B+C)}\qquad{\tan A=-\tan(B+C)}\end{array}

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