对数

本文章整理来自人教版普通高中教科书和一数视频

作者:Pamper_PRMS

校对:Pamper_PRMS

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对数的概念

$2^x=4⇒x=2$
$2^x=5⇒x=? $
$2^x=8⇒x=3$

在对于 $a^x=b$ 在我们目前的学习中，解不出来时，我们引入了新的符号 $\log$

故 $a^x=b⇒log_ab$ 读作以a为底b的对数

有了对数之后，我们很多以前解不出来的值都能解了

如

$3^x=6⇒log_36$
$100^x=2⇒log_{100}2$
$......$

指数和对数可相互转化

$a^x=b⇔x=log_ab （a>0且a≠1,b>0)$

$a^0=1⇒log_a1=0$ 故** $log_x1=0$ **

$a^1=alog_aa=1$ ⇒故** $log_aa=1$ **

如

$3^x=7⇒log_37$
$x=log_89⇒8^x=9$
$x=log_327⇒3^x=27$
$x=log_216⇒2^x=16⇒x=4$

例题

$若 log_2(x^2+2x+1)=4且x>0,则x=$
$解: 2^4=x^2+2x+1=16$
$⇒x^2+2x-15=0$
$⇒(x+5)(x-3)=0$
$⇒x_1=-5,x_2=3$

指数与对数的奇妙关系

$alog_ab=b⇐a^x=b⇔x=log_ab⇒x=log_aa^x$
$前面将x=log_ab代入进a^x=b,后面将b=a^x代入进x=log_ab$

数乘运算

公式1

$对数\quad log_xy\quad我们将它的x和y分别取一个指数m和n$
$log_{x^m}y^n\quad 那它等于什么呢？$

$log_{x^m}y^n=\frac nmlog_xy$
$我们直接将这两个指数提出来$

$上面的依旧放上面（分子），下面的依旧放下面（分母）$

例题

$log_{16}32=?$
$根据上述方法$
$故=log_{2^4}2^5$
$这样一化是不是好做了$
$即\frac 54log_22$

证明

这个公式是如何证明的？

那就接着来

$设\quad log_{x^m}y^n=k$
${x^m} 为底, y^n为真数$
$y^n=(x^m)^k$
$两边同时取\quad \frac 1n\quad次幂$
$(y^n)^\frac1n=(x^{mk})\frac1n$
$将左边的n消掉$
$y=x^\frac{mk}n$
$再将这个指数式推成对数式(恼$
$\frac{mk}n=log_xy$
$k=\frac nmlog_xy$
$根据最开始设的k，这不就证明出来了嘛$
$log_{x^m}y^n=\frac nmlog_xy$

这个公式的例题计算

$log_{27}9=log_{3^3}3^2⇒\frac 23$
$4log_9\sqrt3=log_9\sqrt3^4=log_99=1$

公式2

$log_{x^m}y^n=\frac nmlog_xy$
$我们将这个公式的m=n$
$化简得$
$log_xy=log_{x^m}y^m$
$即可得出第二个公式$

指数和底数同时乘x次幂，值不变

$log_\sqrt2\sqrt3=log_23=log_49=log_827=log_{16}81$

数乘运算搞定，我们来进行加减运算

$log_aM+log_aN=log_aMN\qquad log_aM-log_aN=log_a\frac MN$

相同底数,相加就乘，相减就除

例题就不放了，直接放推理过程

$a^m\times a^n=a^{mn}$
$a^m=x⇒m=log_ax$
$a^n=y⇒n=log_ay$
$x\times y= a^{nm}$
$将m和n分别替换成对数形式$
$x\times y=a^{log_ax+log_ay}$
$再把这个指数变回对数（禁止套娃$
$log_ax+log_ay=log_axy$
成功推理

上图总结

对数